Bu ifadenin gündelik yasam dilinden farkli olmasini yadirgamak yersiz olur. Matematikteki soyutluk, bes duyumuz araciligiyla edindigimiz bilgileri anlamlandirmakta ve aktarmakta kullandigimiz dildeki görece anlatimlardan kurtulmak için gereklidir. Matematik evrensel bir dil olma niteligini bu sekilde kazanmaktadir. Matematik yeterince bilgi edinmeden ve çalismadan anlasilamaz.

Bireyler olarak o kadar küçügüz ki içine dogdugumuz dünyanin sadece küçük bir parçasini algilayabiliyoruz. Bu dünya bizim anlama kapasitemizden büyüktür ve dogal olarak tüm detaylari anlamamiz imkansizdir. Ama matematikle birlikte bu koca dünyanin nasil birsey oldugu hakkinda genel bir duyuma sahip olabiliriz. Tanimlamayi, analiz etmeyi, çikarimlar yapmayi, dizgelemeyi, daha dolgun, anlamli ve islevsel düsünceler üretmeyi ögrenebiliriz. Böylece zekanin derinliklerinde ve sinirlarinda gezinerek kendi sinirlarimizi zorlamak ve genisletmek imkani buluruz.
Mathart, matematiksel sanat, karsimiza çiktigi biçimiyle, matematikçinin içinde yasadigi dünyayi profesyonel matematikçilerin çemberi disina tasimak için yapilan güçlü bir girisimdir. Matematikle sanatin iliskilendirildigi makalelerde, Rönesans dönemi sanatçilarinin çalismalari, özellikle altin oran ve onun geleneksel sanat tekniklerinde kullanilisi, dogadaki geometri, fraktallar ve bunlarin sasirtici görünümleri ve elbette matematik ve müzik iliskisi konularindan bahsedilir. Fakat matematiksel sanat farkli bir önerme olarak karsimiza çikmakta. Çikis noktasi, kuramsal baglami ve yolu matematiksel; teknigi ve ürünü sanatsal olan matematiksel sanat ile soyut kavramlar ve düsünce formlari fiziksel materyallere ve görünümlere dönüsmektedir. Böylece bir yandan matematikçiler "digerleriyle" farkli bir platformda iletisim kurabilme, öte yandan yeterli bilgiye sahip olmayan insanlar, matematikçilerin kafasinin içinde olan biteni hissedebilirle sansi yakalamaktadirlar, ilk bakista soguk ve inorganik görünen matematiksel sanat, Heleman R. P. Ferguson, Anatolii T. Fomenko'nun çalismalarinda sicak ve canlidir. Ünlü matematikçi Fomenko, bize matematik dünyasindan enstantaneler tasirken, sanatçi Ferguson heykelleriyle matematiksel düsünceyi yüceltir. Yeni bir bakis açisiyla M.C. Escher'in eserlerini de bu konuya dahil edebiliriz. Ne de olsa Escher kendini matematikçilere daha yakin hissetmistir. Bu insanlar bize matematiksel düsüncenin ve sanatsal becerinin dogurdugu etkileyici sonuçlarin örneklerini vermektedirler. Gelin bu örnekleri inceleyen kisa bir gezintiye çikalim.

Matematik Dünyasindan Fotograflar:
Ilk duragimizda ünlü Rus matematikçi Anatolii T. Fomenko'nun çalismalari var. Özgeçmisinden anlasildigina göre Fomenko, tam bir harika çocuk ve ögrencilik yasami ödüller ve madalyalarla dolu. Matematik egitimini Moskova Üniversitesi Mekanik ve Matematik Bölümü'nde tamamlayan matematikçinin basarili akademik kariyeri boyunca 140'dan fazla yayinlanmis makalesi ve 16'yi asan kitabi bulunmaktadir. Böylesi güçlü bir matematikçi kimligin yaninda resim, amatör bir ressam olan annesinin etkisiyle küçük yaslardan beri sürdürülen bir ugras olarak belirir. Matematigi hep çizerek ifade etmeye çalisan Fomenko bunun nedenini açikça belirtir:

" ... Ben bir matematikçiyim. Çizimlerim ilgi çekici matematik dünyasinin fotograflarina benziyorlar. Benim için önemli olan sanatçi olmak degil ama bu dünyanin görüntülerini sunmaktir. Böylece diger insanlar da bu dünyaya katilabilirler".

Fomenko ileTopoloji:
Fomenko daha çok matematikteki çalisma alani olan topolojik nesneleri ve olaylari resmeder. Topoloji çagdas matematigin en hizli gelisen ve yayginlasan alanlarindan biri olarak bilinir. Kabaca "esnek madde geometrisi" olarak tanimlanabilecek topolojide sadece noktalar kümesi anlamina gelmeyen ve esnek bir maddeden yapildigi düslenen objeler deforme edilerek birbirlerine dönüstürülebilir. Yirtmadan ve kesmeden, ezip büzerek veya çekip genisleterek yapilan bu dönüsümü bir fonksiyon olarak düsünebiliriz ve buna da homeomorfizm denir. Bir karenin daireye, kübün pramite, bir torusun kahve fincanina, daha da ilginci bir noktasi atilmis bir kürenin reel düzleme (R2) homeomorfik olmasi gibi...

Topoloji ögrenmek insanin algisini biraz farklilastiriyor çünkü konu olan nesneler ve bunlarin elde edilme yöntemleri olagan disi özellikler gösteriyor. Tecrübe etmek için Sekil 2'de görünen dikdörtgenleri ok yönünde yapistirin. Fiziksel anlamda bu islemleri sonuçlandirmak genelde mümkün degildir. Bu yüzden düs gücünüzü yardima çagirmaniz gerekecek. Bu yöntemle olusan Möbius Seridi tek tuzlu, içi disi olmayan bir nesnedir. Yani içi ve disi ayni yüzeydir. Bir digeri ünlü Klein Sisesi, iki Möbius Seridi'nin yapistirilmasiyla elde edilir, iki Möbius Seridi kenarlarindan yapistirilabilir mi? Deneyin!! Kelin Sisesi için sekilde tariflenen yapistirma yönüne dikkat edilirse sisenin kendini kesmemesi gerektigi görülebilir. Fakat bunu üç boyutlu uzayda göstermek imkansizdir. Klein sisesi dört boyutlu içi disi olmayan bir nesnedir. Çizimde kendini keser gibi görüldügü için algilamasi zor olan bu durumu dikkatlice düsününce siz de kavrayabilirsiniz. Dördüncü boyutta bu siseye su doldurmak oldukça eglenceli olurdu.

Matematik dünyasini fotograflamak:
Tahmin edeceginiz üzere topoloji, matematikçilerin oyun düskünlügüyle örtüsen eglenceli bir ugras ve bir yigin görsel malzemeyle dolu. Tabi ki matematikçiler için asi! heyecan verici olan bu oyunlarin içindeki teori. Fomenko ise dogasi kolay anlasilmayan bu dünyayi resmetmeye çalisiyor. Resim yaparken bir yolculuga çiktigini ve baslangiçta ne olacagini hiç bilmedigini söyleyen sanatçi, yol boyunca edindigi izlenimleri, tecrübeleri aktarmak istiyor ve bunu fotograf çekmeye benzetiyor. Gördüklerini ve hissettiklerini belgelemek için çiziyor. Resimlerinde kurguladigi mekanlarda Rus masallarindan, mitolojiden ve antik çagin öykülerinden faydalaniyor. Fomenko'nun resimlerinde mekanlar alabildigine büyük, insanlar alabildigine küçük görünüyor Fomenko bu hissi söyle vurguluyor:

" Biz su ögrenen adamlar, tahmin edemeyecegimiz seylerin her an olabilecegi, firtinali bir dünyada yasiyoruz"
Resimlerin kaotik yapisi, izleyiciyi zor durumda birakacak kadar karisik birçok detayla dolu olmasi bu fikre dayaniyor olmali. Bizler teknoloji çaginin çocuklari bildiklerimizle ne kadar çok övünürüz, oysa bilmediklerimizin fazlaligi merakimizi kamçilamali.

Müzik ve matematik
Müzik ve matematik iliskisi Fomenkonun resimlerinde de gündemdedir. Aktif olarak Moskova Üniversitesi Topaz grubunda müzik yapmis olan Fomenko'nun resimleriyle müzik arasinda önemli baglar bulunur. Fomenko'ya göre müzik ve matematigin temel motifi sonsuzluktur:
" Profesyonel matematikçiler sürekli olarak sonsuzluk kavramiyla ilgilenirler. Bu yüzden tam olarak tanimlanamasa da sonsuza ait belirgin ve güçlü bir hisse sahiptirler. Pek açikça görülmese de bu durum müzik için de böyledir. Her iki alan da ortak ve yüksek bir soyutlama düzeyine sahiptir." (4)
Fomenko'nun görüntüledigi dünyada onun izlenimlerine tanik olmak pek kolay degil. Oldukça detayli, karisik iç içe geçmis yapilar; koyu keskin gölgeler, ilginç teorik isimler, zor kavramlar... Sanatçinin kendisinin de bu resimlerin belli bir düzeyde matematik bilmeden anlasilamayacagini itiraf etmektedir. Yine de garip bir dünyadan gelmis fantastik öyküler anlatan bu "fotograflarin" izleyici üstünde birakacagi etkiyi kim tayin edebilir!

Bronz ve Tas Üstüne Kuramlar
Ikinci duragimiz Amerikali sanatçi Heleman R. P. Ferguson. Sanat egitimini resim ve heykel üzerine Hamilton Koleji'nde yapan Ferguson, matematik egitimini Washington Üniversite'sinde almis. Bilgisayar destekli üretim ve bunun için yazilacak algoritmalar üzerine arastirmalar yapmis. Yasamini heykel yaparak sürdüren sanatçi, matematigin kendine özel estetik bir tarafi olduguna inaniyor. Ferguson "Matematigin kaynagi, enerjisi, zekasi, sofistike yapisi estetik sanat eserlerinin yaratilisini gelistirmek üzere kullanilirsa ne olur?" sorusunun cevabini arar. Sanatçinin haziran 1991'de Newyork Bilimler Akademisi'nde açilan "Bornz ve Tas Üstüne 16 Kuram" adli sergisi bu soruya bir cevap niteligi tasidigi söylenebilir. Ferguson yasamsal görünümlerin tasarim dili olarak kabul ettigi matematigi, bir sanat ve bilim formunda heykellestirirken, bize de bu formlarda zihinsel güzelligi duyumsatarak önyargilarimizdan kurtulmamizi saglamayi amaçlamaktadir. Bu misyonu söyle ifade eder:

" Güzellik ve gerçek: heykellerimin birlestirip yücelttigi iki olgu. Ruhu harekete geçiren heykellerin güzelligi ve zihni harekete geçiren matematiksel gerçek. Benim heykellerimin yaptigi bu."(2)
Matematiksel estetik Umbilic Torus Nist NC heykelinde vücut bulmustur. Heykelin formunda hemen okunabilecek süreklilik, ilginç dokusu, antik rengi, Ferguson'un yaraticiligi ve yetkinligi hakkinda ilk fikirleri vermektedir. Heykelin en ilginç yani ise onun yaratilis sürecidir. Bilgisayar destekli üretim tekniklerinin uygulandigi heykel formu

Hilbert Uzay Doldurma Egrisi'nin insasi
ax3+bx2y+cxy2+dy3 kübik reelbinom denkleminden elde edilir. Heykelin formu ve doku belirlendikten sonra gerekli koordinatlar hesaplanarak bilgisayara aktarilir ve sayisal kontrollü oyma makinasi ile pozitif çikti alinir. Bu pozitif çikti geleneksel heykel teknikleriyle bronza dökülerek son halini alir.

Hilbert Uzay Doldurma Egrisi'nin insasi
Heykelin formu yaninda dokusu da ilginç bir konu olan Peano-Hilbert uzay doldurma egrisinin 5. dereceden uygulanmasi ile elde edilir (Sekil 3). Uzay doldurma egrisi bir dogrudan bir düzleme tanimlanan bir fonksiyon olarak düsünülebilir. Sekilde görüldügü gibi egri sürekli tekrarlanan bir islemle insa edilmektedir. Bu islem sonsuz çoklukta tekrarlandiginda egrinin bir noktadan bir ve sadece bir kere geçerek düzlemi dolduracagi ispatlanabilir. Tek boyutlu egri giderek iki boyutlu düzleme yakinsamaktadir ve bu da bizi çeliskiye götürür. Bu ve buna benzer egriler bugün fraktallar olarak bildigimiz yapilarin temelini olusturmuslardir. Heykel dogdugu kuramdan daha fazlasini aktariyor:
" Bir heykel nüansa, gizeme, sese, sicakliga, tarihe, birkaç anlam düzeyine ve kendi orijininin tanimladigindan daha fazla referansa sahip olabilir. Ama benim yaptigim sadece heykel degil. Ben soyut matematigin tahmin edilemeyen fiziksel formlara dönüsme macerasi ile ilgileniyorum."(2)
Ferguso'un heykellerinin yarattigi heyecan sadece formlarin basarisindan degil, onlarin gerisindeki ilginç kuramlardan doguyor. Eserlerindeki yalinlik, süreklilik, yumusaklik; bronzun, tasin ve kuramin sogukluguna karsi duruyor.

Tanidik Bir Sima: M.C. Escher
Son olarak MC Escher'in galerisine ugruyoruz. Bilimle ilgilenen ve popüler bilim yayinlarini takip edenler Escher'i ve onun eserlerini yakindan tanir. Escher'in farkli kisiligi bu ilgiyi hak ediyor dogrusu. Sanatçi hakkinda söylenegelenleri yinelemekten çekinmekle birlikte, onu gündeme getirmemizin nedeni eserlerinin matematigin görsellesmesi konusunda verilen ilk örnekler oldugunu düsünmemiz. Sanatçinin kendisi de matematige yakinligini söyle ifade etmistir:

" Bizi saran belirsizlikleri gögüsleyerek ve yaptigim gözlemleri analiz ederek matematigin egemen oldugu alana eristim. Bilim egitiminden yoksun olmama ragmen kendimi sanatçi arkadaslarimdan daha çok matematikçilere yakin hissettim".(1)
 Sanatçinin çalismalarini birer ilk yada önder olarak kabul edebiliriz. Yine de Escher'in matematiksel bir kaygiyla yola çiktigini söylemek yanlis olur. Sanatçi kurmak istedigi dünyalari yaratabilmek için matematikten faydalanmistir. Kisa ve duru bir bakisla yeniden gözden geçirirsek Escher'in islerini birkaç grupta ele alabiliriz:

Düzlemi düzenli olarak bölmek:
Bu teknikle yaptigi resimlerinde sanatçi bir ya da birkaç motifi hiçbiri birbirinin üstüne gelmeyecek ve aralarinda bosluk kalmayacak sekilde birbirlerini nasil çevreleyebileceklerini arastirir. Bu yöntem matematikte düzlem doldurma problemi ile çakisir. Matematikçi daha global bir yaklasimla bir düzlemde bulunan mozaik yapidaki simetri gruplarini arastirip tanimlamak ister. Escher bu islemi çesitli hayvan figürleri kullanarak fantastik bir sekilde icra eder. Bu grupta topladigimiz çalismalari arasinda en etkileyici olanlari hiperbolik düzlem kullandigi Circle Limit (Çember Limiti) serisidir. Hiperbolik düzlem Öklid olmayan geometrilere örnek olarak Poincare tarafindan gelistirilmistir (Sekil 4).

Metamorfozlar
Bu seride yüzey figür iliskisi çarpici sekilde vurgulanirken, imkansiz olan boyutlar arasi yolculuk da resmedilir. Dogada degisim anlamina gelen metamorfozlarda, düzlemdeki düzenliligi bozmadan sürekli deforme edilen sekiller birbirine dönüsür, gece gündüze, baliklar kusa evrilir.

Paradokslar
Escher'in en vurucu isleri paradoks (çeliski) ve sonsuzluk kavramini isledigi resimleridir. Imkansiz figürleri kullanarak insa ettigi dünyalar bizi çeliskiye götürür. Döngüsel paradokslari yaratmak için kurdugu hiyerarsik düzenlerde sürekli yukari ya da asagi hareket etseniz de, hiyerarsinin geregine ragmen, yine baslangiç noktasina gelirsiniz. Bu gibi döngüler Bach'in müziginde de yer alir. Bach müzigini bestelerken kanonlar sayesinde kurdugu döngüler içinde notalarin harflendirilme sisteminden yararlanarak kendi adini sonsuz kere zikrettirir. D.R. Hofstadler ünlü Escher Gödel ve Bach adli kitabinda bu üç sahsiyeti döngüsel paradokslarda bulusturur. Bu yüzyilin en önemli matematik makalelerinden birini yazan Gödel, matematigi dizgelestirme çabalarinin sonuç vermeyecegini, kendi içinden çikip kendine dönen bir paradoksun varligini göstererek kanitlamisti(5). Escher'in Resim Galerisi adli eseri kabaca bu kanitin görsel ifadesidir. Önemli bir teorem ve ilginç bir resim ayni anlatima ulasiyor!
Escher'in eserlerinin açikligi, kolay okunurlugu, akici anlatimi, iyi kurgulanmis güçlü yapisi iz birakicidir. Dikkatli bir göz sanatçinin resimlerinde tanik oldugu gariplikleri kolay kolay unutmaz. Escher oldukça sofistike ve detayci isçiligiyle matematigin örgüsüyle çakisir. Yasami süresince ve sonrasinda çok tartisilmis bir sanatçi olan Escher, matematikçi olmasa da çalismalari pek çok matematikçiyi etkilemektedir.

Matematik ve Sanat Üzerine
Matematikle sanat oldukça farkli olan iki alan olarak karsimizda. Malzemeleri, teknikleri, yöntemleri ve dogal olarak ürünleri farkli, ilk bakista hemen göze çarpan ve rahatsizlik veren bu ayrilik, ortakliklarin varligina engel degil. Matematik de sanat da, diger bilimler gibi, insanin içine dogdugu ortami ve bu ortam içinde kendine ne olup bitmekte oldugunu anlama çabasi sonucu dogmustur. Zaman zaman dogaya aykiri görünseler de iki alan da doganin soyutlamasi, yorumu hatta yeniden sunumudur. Sayilar denklemler bu halleriyle dogada yokturlar ama resimler ve heykeller gibi dogayi betimler ve düsüncemize yeniden sunarlar.

Mathart: Matematiksel sanat, matematigin sasirtici sonuçlarindan biri (Yoksa sanatin sasirtici sonuçlarindan biri mi demeli? Sanatin kendisi zaten sasirtici degil mi?) Bu sonucu karsimiza çikaran kisiler matematigi yeni bir etkilesim atanina tasimak istiyorlar. Bu, sanatin etki alanidir. Ne de olsa sanatin cazibesi daha çok kisiyi kendine çeker. Böylece daha çok insan matematiksel düsünceyi ve onun doguracagi etkiyi paylasabilir. Matematiksel sanat bu kendine has saviyla merak edilmeye deger. Fomenko, Ferguson ve Escher'in çalismalarini incelemek, matematige ilgi duyan herkes için keyifli bir ögreti süreci olmaya aday.

Kaynaklar:
1- Bool F.H... Escher Complete Graphic Work, Thames and Hudson, 1993
2- Cannon J.W., "Mathematics in Marble and Bronze: Sculptures of Heleman R.P. Ferguson", Mathematical Intelliger, cilt: 13, sayi: 1, kis 1991
3- Coxeter H.S.M, Escher: Art and Science, Elsevier Science Publishers, 1986
4- Fomenko A., Mathematical Inspirations, American Mathematical Society Press, 1990.
5- Hofstadler D.R, Gödel esher and Bach: The Eternal Golden Braid, Vintage Books Edition, 1980.
6- Kappraff J., Conecttons: The Geometric Bridge between Art and Sciences, Mc GrawHill Pub. Co., 1991.
7- Nargel E., Newman J.R., çev: Gözkan B., Gödel Kanitlamasi, Sarmal yayinevi, 1994.

Yorum (0)

RSS yorumları

İsim

Başlık

Yorum

Gönder