Matematik anlamda ilk çalisilan fraktal, Cantor Cümlesidir. Cantor (1845-1918) Halle Üniversitesi'ndeyken matematigin temel konularindan olan ve günümüzde Cümle Teorisi olarak adlandirilan alani kuran bir Alman matematikçidir.

Cantor cümlesi ile ilgili ilk çalisma 1883 de basilmis  [G. Cantor, Über Unendliche, lineare punktmannigfaltigkeiten V, Mathematische Annalen 21 (1883) 545-591] ve bazi özel cümleler için örnek olarak gösterilmistir. Cantor cümlesi hiçbir yerde yogun olmayan, mükemmel (perfect) alt cümlelere bir örnektir. Fraktallarin tarihi gelisiminde Cantor, Sierpinski, Von Koch, Peano gibi matematikçiler tarafindan olusturulan fraktallar matematiksel canavarlar olarak adlandirilir. Matematiksel canavarlarin bahçesinde veya ilk fraktallarin ortaya çiktigi zamanlarda Cantor cümlesi görünüs açisindan digerlerinden daha az gösterisli olmasina ve digerlerine göre dogal yoruma daha uzak olmasina ragmen oldukça önemlidir. Cantor cümlesinin, matematigin pek çok alaninda özelikle Kaotik Dinamik Sistemlerde önemli rol oynadigi ve pek çok fraktallar (Julia cümleleri gibi) için de gerekli bir model oldugu görülmektedir.

Etrafimizda, parlak, tuhaf, güzel sekilli cisimler görürüz. Bunlara Fraktal denir. Gerçekten bunlar nedir?

Internette fraktallar hakkinda çok fazla bilgi vardir, fakat bu bilgilerin büyük kismi ya güzel resimler veya yüksek seviyeli matematiksel kavramlarla ilgilidir. Dolayisiyla kolayca anlasilir bir ifade ile diyebiliriz ki fraktallar tuhaf  resimleri olan cisimler, matematiksel nesnelerdir. Okulda karsilastigimiz matematigin çogu eski bilgilerdir. Örnegin, geometride karsilastigimiz çemberler, dörtgenler ve üçgenler M.Ö. 300 üncü yillarinda Öklid tarafindan ortaya konulmustur. Buna ragmen Fraktal Geometri daha çok yenidir. Fraktallar üzerinde matematikçiler tarafindan arastirmalar son 25 yildir baslamis bulunmaktadir.

VON KOCH EGRISI

Burada bir dogru parçasi ile basliyoruz. Dogru parçasini üç esit parçaya ayiriyoruz ve ortadakini aliyoruz. Onu bir eskenar üçgen seklinde disa dogru tamamliyoruz. Böylece dört es dogru parçasindan olusan bir kirik çizgi elde etmis oluyoruz. Buna motif veya olusturucu denir. Eger öncü dogru parçasi 1 uzunlugunda seçilirse, motif her biri  uzunluklu dört parçadan olusur. Dolayisiyla motif'in toplam uzunlugu  olur.

Benzer biçimde dört parçadan her birini öncü kabul ederek ayni islemle birer motif haline getiririz. Böylece 2. adimdaki sekli elde ederiz. Bu son halde  es dogru parçasi yer alir.

Bu egrinin total uzunlugu olur. Benzer sekilde bir adim daha devam edilirse 3. adimda  dogru parçasi elde edilir. Her birinin uzunlugu   olan es dogru parçasindan olusan bir egridir. Bu egrinin toplam uzunlugu olur.

Bu fraktalin boyutu : Boyutu D ile gösterirsek    ile hesaplanir. Burada N fraktalin olusumundaki  parça sayisini ve a da her parçanin uzunlugunu göstermektedir. 2. Sekle göre  dür. 1.Sekle göre   oldugundan   olur. 3.Sekle göre   ve  oldugundan   olur. 4. Sekle göre  ve  oldugundan  olur. O halde

        (ayni)

veya

dir. Limit halde, öncü dogru parçasinin bütün orta parçalari hizli bir sekilde uzaklasacak ve geriye tam bir Cantor Cümlesi kalacak. O halde Koch Egrisi de kendine benzerdir. Her bir küçük parça bütünün bir minyatür kopyasi olacaktir. Bu nedenle Koch Egrisi de bir Cantor Cümlesi olacaktir.

KOCH KARTANESI

Üçgenlere ayrilarak bir kafes biçiminde çizilmis bir sayfa kagit alalim.

I.  Adim: Genis bir eskenar üçgen çizelim.

II. Adim: Alti adet sivri kösesi olan bir yildiz elde etmek için:

Üçgenin bir kenarini üç esit parçaya ayiralim ve ortadaki parçayi alalim.

2. Bosta kalan iki uca aldigimiz bu parçadan birer tane baglayalim ve uçlarini üçgenin dis tarafinda birlestirelim.

3. Bu isi eskenar üçgenin diger iki kenari üzerinde de yapalim. Böylece eskenar üçgenden alti köseli bir yildiz elde etmis oluruz.

Ortaya çikan bu yildizin sahip oldugu alti eskenar üçgenin her birinde II. Adim tekrarlanarak ikinci tekrardaki sekli elde ederiz.

Bu ise devam edersek çevre uzunlugu sonsuz olan bir grafik  elde ederiz . Su halde KOCH  Kartanesinin  ilginç karakteristigi onun çevresidir. Normalde, bir geometrik seklin çevresini büyütürseniz alanini da  büyütmüs olursunuz. Eger çevresi çok uzun olan bir kare alirsaniz alani da çok büyük olan bir kare almis olursunuz. Simdi burada ne olduguna bakalim:

Yaptigimiz is su idi:

Bir eskenar üçgenin bir kenarini üç esit parçaya böldük ve ortadakini çikardik.

Çikardigimiz parça ile esit uzunluklu iki parçayi bir   V  harfi gibi birlestirerek üçgenin kenarinda bos kalan iki ucu bagladik.

Bu isi üçgenin her kenari için de yaptik. Ve böylece devam ettik.

Bu fraktalin boyutu:  2.Sekle göre   ve  oldugundan  boyut formülünün kullanirsak  dir.

TERS KARTANESI

Bu yeni fraktal Koch Kartanesinin ilginç bir degisimi olacak.

Büyük bir eskenar üçgenle baslayalim. Eger üçgenlerle kafeslenmis bir kagit kullanirsaniz üçgeninizin kenarlarini 9 kafes uzunlugunda (veya 3 ün baska katlari olabilir) seçin.

I. Adim: Üçgenin bir kenarini üç parçaya bölelim ve ortadaki parçayi alalim.

Bu parçalardan bir tane daha bularak V seklinde ekleyip çikardigimiz yeni üçgenin içine dogru dolduralim.

Üçgenin geri kalan iki kenarina da ayni islemi uygulayalim.

Böylece bir firildak sekli elde etmis oluruz.

II. Adim: Bu metodu firildakta yer alan yeni üçgenlerle tekrarlayalim. Böylece yukarida sekiller dizisini elde ederiz.

Bu fraktalin Boyutu:  Koch Kartanesinin ki ile aynidir.

SIERPINSKI ÜÇGENI

Polonyali matematikçi VACLAV SIERPINSKI (1882-1969) 1916 yilinda, daha sonra kendi adiyla anilan ve Sierpinski Üçgeni veya Sierpinski Sapkasi (Sierpinski Gasket) veya Sierpinski Kalburu (Sierpinski Sieve)  da denen bir fraktal tanitti. Bu seklin 12.yüzyilda bir kilisede süsleme olarak çizili oldugu da biliniyor.

Örnegin, üçgen gibi alisilmis bir geometrik sekil alalim ve üzerinde daha karisik bir yeni sekil elde edecek biçimde belirli bir islem yapalim. Bu islemi, aynen uygulamaya devam ettikçe daha karisik bir sekil elde ederiz. Bu islemi tekrar tekrar uygulamaya devam edelim. O zaman, yukarida sekli görünen ve Sierpinski Üçgeni denen meshur fraktal elde edilir.

I. Adim :  Kenar uzunlugu 2 birim olan bir eskenar üçgen çizelim. Her kenarinin orta noktalarini isaretleyelim ve bu orta noktalari birlestirelim. Böylece dört tane yeni eskenar üçgen elde etmis oluruz. Merkezde kalan üçgeni karalayalim ve sonra da merkezdekini kesip atalim.

II. Adim:  Kenar uzunlugu 4 birim olan bir eskenar üçgen çizelim. Kenarlarinin orta noktalarini birlestirelim. Elde edilen dört yeni eskenar üçgenden merkezdekini  birinci adimda oldugu gibi karalayalim. Sonra da köselerde yer alan ve karalanmamis olan üç adet üçgenin her birini ayni isleme tabi tutalim.

III. Adim : Kenar uzunlugu 8 birim olan bir eskenar üçgen çizelim. Yukaridaki islemleri aynen tekrar ederek Sierpinski Üçgenini tamamlayalim. Benzer sekilde boyama isini de yapalim. Boyanmis olanlari kesip çikaralim. Böylece 1 adet büyük, 3 adet ortanca ve 9 adet küçük ve boyanmis eskenar Üçgene sahip olacagiz.

IV. Adim:  Bir duvar kagidindan bu isi yapalim. Yukaridaki adimlari sirasiyla takip ederek Sierpinski Üçgenini tamamlayalim.

Sierpinski Üçgeni pür matematik alaninda bir zihinsel üründür. Benzer sekilleri deniz kabugunda ve hücre çogalmalarinda da görebiliriz.

Bu fraktalin Boyutu:  ve  oldugundan  boyut formülüne göre  dir.

PASCAL ÜÇGENI VE SIERPINSKI ÜÇGENI ARASINDAKI ILISKI

Blaise Pascal'in sayilara ait üçgen modelini hatirlayiniz. Bu üçgeni yukaridaki sekilde görüyorsunuz. Bu üçgene Pascal Üçgeni denir.

Pascal üçgenindeki küçük üçgenlerden içinde çift sayi bulunanlari boyayalim. Ortaya çikan Pascal Üçgenini yukaridaki üçgenle karsilastiralim. Böylece Pascal Üçgeninden Sierpinski Üçgenini elde etmis oluruz.

SIERPINSKI HALISI

I. Adim:  Kenar uzunlugu 9 birim olan bir kare alalim. Kenarlarinin her birini üçer esit parçaya ayiralim. Karsilikli olarak bu ayirim noktalarini birlestirelim.

II. Adim:   Olusan dokuz es kareden merkezdekini kesip çikaralim.

III. Adim:  Geri kalan sekiz es karenin her biri için ayni isi tekrarlayalim.

IV. Adim:  Elde edilen sekle ayni metodu tekrar  uygulayalim.

Sonuçta elde edilen  sekil çogu zaman Cantor cümlesinin bir genellemesi olarak görülür.

Bu fraktalin boyutu: I. Adima göre   ve  oldugundan  dir.

CANTOR ORTA ÜÇLÜLERININ CÜMLESI

Cantor Orta Üçlülerinin Cümlesi, birim dogru parçasinin üç esit parçaya bölünmesi ve ortadaki üçte bir parçasinin atilmasi, daha sonra geriye kalan iki parçanin da ayni isleme tabi tutulup ortalarindaki üçte birlik parçalarinin atilmasi ve tekrar geriye kalan dört parçanin her biri için ayni islemden sonra ortadaki parçalarinin atilmasi ve bu isleme devam edilmesiyle olusturulur.

Cantor cümlesinin kutu-sayma boyutunu hesaplamak için, git gide küçülen kutularla Cantor cümlesini örteriz.

Bu fraktalin boyutu:             ( Çünkü ilk sekle göre   ve  dir.)

Diger bir  kutu sayma hesabina göre :

ve genel olarak

bulunur.

Bu fraktalin kutu-sayma boyutunu hesaplamak oldukça kolaydir.

PISAGOR AGACI

Bitki fraktallarinin olusumuna ait  bir yol  Pisagor Agaci  yoludur, bu yola fraktal gölgelik de denir. Bu yol, dogrularin ayrilmasindan ibarettir, dallanmaya çok benzerdir. Dogrular yerine kareler ve üçgenler kullanilarak asagidaki sekle benzer bir olusum ortaya çikar.

Bu cins bitki fraktallarinin en önemli özeligi uç noktalarinin irtibatli olusudur. Dallarin uç noktalari bir yüzey üzerinde birlesirler, tipki kara lahanada oldugu gibi.

 Bir diger yol da tekrarlayan fonksiyon fraktallarinda oldugu gibi, bir egrelti otunu olusturan yoldur.

KESIRSEL BOYUTUN DOGUSU

Bir noktanin boyut'u yoktur, uzunlugu, genisligi hatta yüksekligi de yoktur. Asagidaki  sekli ne kadar büyük çizilirse çizilsin bir nokta oldugu bilinirse noktanin ne oldugu malum olduguna göre bu sekil bir nokta gösterir ve boyutu  P'dir.

Bir dogrunun boyutu 1 dir, bu boyut onun uzunluguna karsilik gelir. Dogrunun da genisligi ve yüksekligi yoktur. Fakat uzunlugu sonsuzdur.

Genisligi  olan fakat boyu sonsuz olan bir dogru nasil çizilir? Bu ögrenme isinin sonucu olarak bilinen bir seydir.

Bir düzlem iki boyutludur, bunlar uzunluk ve genisliktir, fakat derinlik (ya da yükseklik) yoktur.

Düzlemi, masanin üst yüzü olarak düsünürseniz uzunlugunu ve genisligini sinirlamayiz.

Uzay, öyle büyük fakat bos bir kutudur ki bu kutunun boyu, eni ve derinligi (yüksekligi) her yönde istenildigi kadar genisletilebilir. Dolayisiyla uzay 3 boyutludur. Elbette uzayi asagidaki kutu yerine bir altigen prizma ile de temsil edebilirdik.

Fraktallar, kesirsel boyutlara sahip olabilirler. Örnegin  fraktal 1.6 veya 2.4 boyutlu olabilir. Bunun neden ve nasil böyle olabilecegini görelim.

Sierpinski Üçgenini ele alalim. Bunun ilk fraktal örnegi oldugunu biliyoruz. Bu, gerçekten 1 in yaklasimlarindan sadece bir tanesidir.

Simdiye kadar verdigimiz örneklerde de gördügümüz gibi fraktallar sonsuz adimlardan olusan bir algoritmanin sonucu olarak ortaya çikarlar. Asagidaki sekilde bu adimlardan sadece üç tanesini görüyorsunuz. Dolayisiyla Sierpinski Üçgeni denen fraktal içinde giderek küçülen sonsuz çoklukta küçük üçgenler vardir.

Fraktallarin kesirli boyutlara nasil sahip olduklarini görebilmek için önce genel olarak boyut demekle neyi kastettigimizi görelim.

Bir dogru parçasi ve onun uzunlugunun  iki katindaki diger bir dogru parçasindan olusan bir kendine benzer sekli ele alalim. Uzunlugu iki misli almakla esas dogru parçasinin iki kopyasini almis olduk.

Diger bir kendine benzer sekil olarak  tipinde bir kare ile onun uzunlugunun ve genisliginin 2 ser katlarindan olusan diger bir kareyi ele alalim. Böylece esas karenin dört kopyasini elde etmis olduk. Demek oluyor ki kenarlari katlama isi bize dört kopya verdi.     

Simdi de  tipinde bir küp alalim. Uzunlugunu, genisligini ve yüksekligini katlayalim. Böylece esas küpün sekiz kopyasini elde etmis oluruz. Demek ki bu defa katlama isi bize sekiz kopya vermis oldu.

Bu bilgileri bir tabloda toplayalim. Burada   bir model görüyoruz. O da sudur, boyut üs'dür. Demek ki kopya sayisini biliyor isek onu 2 nin üstel kuvveti olarak ifade ederiz ve bu üs bize boyut olarak gelmis olur.

Yukaridaki tabloya bir satir daha ekleyelim.

Simdi artik, Sierpinski Üçgeni denen fraktal'in boyutunu verebiliriz. Kenar uzunluklari 1 er cm olan bir Sierpinski Üçgeni ile baslayalim. Kenarlarin uzunluklarini katlayalim. Atilan üçgenler Sierpinski Üçgeninin bir parçasi olmadiklarindan (onlar birer deliktirler) bu katlama isi bize üç kopya verecektir.       O halde yazabiliriz, burada  boyuttur. O halde buradan olur.  ve  olduguna göre  deki  degeri 1 ile 2 arasindaki bir degerdir. Bunu da tablomuza ekleyelim.                                                                                                                                                     

O halde Sierpinski Üçgeninin boyutu 1 ile 2 arasindaki bir sayidir. Hesap makinaniz yardimi ile  esitliginde  ye 1.1 verirseniz, 3 yerine 2.143547 ve 3 e daha yakin bir deger için  ye 1.2 verirseniz, 3 yerine 2.2974 elde edersiniz. Bu ikincisi 3 e daha yakindir. Bu sekilde devam ederseniz  ye daha uygun bir deger bulursunuz. 3 e yakin degeri veren  sayisi Sierpinski Üçgeni denen fraktal'in boyutudur, bu da  dir. Bu da bize fraktallarin boyutlarinin nasil birer kesirli sayilar, kesirli boyut olabileceklerini göstermektedir.

KOMPLEKS TEKRARLAMA(Dinamik sistem)

Kompleks sayilari kullanarak Mandelbrot Cümlesini ve Julia Cümlelerini olusturmak mümkündür. Bunun için  ve  kompleks sayilar olmak üzeredönüsümü esas alinir.  kompleks sayisindan baska bir  kompleks sayisi daha alalim ve  kompleks sayilarinin dizisini olarak yazalim. Bu yolla Mandelbrot Cümlesi ve Julia Cümleleri olusturulabilir. Julia tipindeki cümleler ile Mandelbrot Cümlesi birbirinden ayirt edilebilir. Bu metodu kisaca açiklayalim.

Ilk olarak kompleks sayilar kullanmadan formülasyon hazirlanir.  kompleks sayisi  ve  reel sayilarinin bir ikilisi olarak düsünülür  ve  kompleks sayisi da reel sayilarin belli bir  iklisi olarak alinir. O zaman  dönüsümü, oldugundan dinamik sistemini verir.

JULIA TIPINDEN CÜMLELERIN AYRILMASI

Her bir   sabit kompleks sayisi için  ile gösterilen bir Julia cümlesi vardir. Eger  ile gösterilen doldurulmus Julia cümlesini tanimlarsak bunu tanimak kolaydir. Düzlemin her bir  noktasi içingenel ifadesi yardimi ile dizisi elde edilir. Eger dizi sonsuza gitmiyorsa  dir, eger dizi sonsuza gidiyorsa  dir. Örneklere geçmeden önce  nin taniminin üç bilgisayar görünümünü verelim.

1. Matematikte her ne kadar düzlemin bütün  noktalarini ele alabiliyorsak da pratikte kompleks düzlemin sadece bir parçasini düsünürüz ve bu düzlem parçasinin içinde  larin sonlu bir kolleksiyonunu aliriz. Resimlerin büyüklügü nedeniyle her bir küçük bölgenin merkezini  olarak aliriz. Örnegin  ebadindaki bir düzlem parçasi için  adet kutucuk gerekir.

2. Bir dizi sonsuza nasil gider? Örnegin dizideki bir elemaninin merkezden uzakligi 2 den büyük oluyorsa dizinin diger elemanlarinin orijinden uzakliklari sonsuz olarak alinir. Bu demektir ki dizi sonsuza gidiyor. O zaman merkezden uzakliklari 2 ve 2 den küçük kalacak sekildeki diziler sonsuza gitmiyor.

3. Kabul edelim ki  lerin hepsinin orijinden uzakligi 2 olsun. Bu durumda dizinin sonsuza gitmeyecegini söyleyemeyiz, çünkü belki   ün orijine uzakligi 2 den büyük olabilir. Bu durumda  bir seçim yapmaliyiz. Tekrarlamanin bir  maksimum sayisini seçeriz. Eger  lerin hepsi orijinden 2 uzakliginda iseler o zaman dizinin sonsuza gitmedigini söyleyebiliriz ve dolayisiyla  dir deriz. Böylece bazi noktalarin   ye ait olduklarini kabul etmis oluruz. Bu kabulde en az  hata yapmis oldugumuz en büyük   sayisi önemlidir. Diger yandan bu en büyük  sayisi da bilgisayarin daha çok zamana ihtiyacini gerektirir.

Bu algoritma hangi küçük kutucuklarin  ye ait merkezlere sahip oldugunu belirtir. Bu kutucuklari siyah ile boyariz. Eger bir baska  ile baslayan dizi sonsuza gidiyorsa  'i  merkez kabul eden kutucugu baska bir renk ile boyariz. Böylece orijinden uzakligi 2 den büyük olan kaç deneme yaptigimizi da göstermis oluruz.

Örnegin, ilk deneme-de eger bir miktar tekrarla-mayi kirmizi ile boyadi isek, sonra ikinci deneme-dekileri de portakal  rengin-de boyayalim,..., böylece devam edelim. Bu durumda asagidaki renkli görüntü ortaya çikar. Bunu elde edebilmek için bilgisayar yukaridaki dinamik sistemi milyonlarca defa uygulamistir.

Prof. Dr. H. Hilmi HACISALIHOGLU
Kaynak: www.matder.org.tr

Yorum (0)

RSS yorumları

İsim

Başlık

Yorum

Gönder