Bal Petegindeki Matematik

Ana Sayfa

Bal peteginin enteresan mimarisi tarih boyunca insanlarin ilgisini çekmistir. Yan yana altigenlerden olusan bu yapi, son derece hassas olup ortalama duvar kalinliklari 0,1 mm'dir. Bu ortalama degerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardir. Peteklerin insasinda uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal oldugunu anlayabilmek için, matematikî bir bakis açisina sahip olmak gerekir. Daire, belli bir sabit alani çevreleyen en kisa kenar uzunluguna sahip geometrik sekildir. Meselâ alani 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre uzunluklari karsilastirildiginda, dairenin çevresinin daha kisa oldugu görülür. Ancak bal peteginin insasinda durum tam olarak böyle degildir. Burada bal peteginin genis çerçevesi, esit ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme isleminde en az çevre uzunluguna sahip sekil kullanilacaktir. Çerçeveyi, esit alanlara sahip küçük daireler seklindeki peteklere bölmek istersek, yukarida ifade edildigi gibi en kisa kenar özelligi saglanacak, fakat dairelerin kenarlari arasinda kalan bosluklar için daha fazla mum harcanmis olacaktir.

Halbuki bu problemi, en kisa kenar uzunlugu ve en az malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettigimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanilmasi gerektigi görülecektir. Kenar sayisi n olan ayni alana sahip çokgenler düsünelim. Bunlarin içerisinde en kisa çevre uzunluguna sahip olani düzgün n-gendir. Düzgün ile kastedilen, bütün kenarlari ve iç açilari esit olandir. Bu tip bir çokgen, her zaman bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köseleri çemberin çevresi üzerindedir. Böyle bir yapinin ideal daire sekline yakin olmasindan dolayi çevre uzunlugu en az olmaktadir. Meselâ esit alanli üçgenler içerisinde en kisa çevre uzunlugu eskenar üçgende, dörtgenler arasinda en kisa çevre uzunlugu ise karede elde edilir. Benzer sekilde besgen ve altigenler kendi aralarinda kiyaslanirsa, en kisa çevre uzunlugu düzgün besgen ve altigende elde edilebilir.

Akla gelebilecek ilk soru, belli bir alani bölerken hangi düzgün çokgeni kullanmamiz gerektigidir. Bir daire ve içerisine çizilmis n kenarli bir düzgün çokgenin bir kismi Sekil 1'de gösterilmistir. Sekilden de görülebilecegi gibi çokgenin bir iç açisi 180-360/n derecedir. Verilen bir genis alani küçük alanlara bölmek istedigimizde, komsu çokgenlerin birbirlerine tam oturmasi ve aralarinda bosluk kalmamasi gerekir. Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komsu çokgen köselerine ait iç açilari toplami 360 derece olmalidir. Baska bir ifadeyle bir iç açinin tam sayi bir kati 360 derece olmalidir. N komsu iç açilarin adedini temsil etmek üzere, bu durumda asagidaki denklemi yazabiliriz (N tamsayidir):

N (180 - 360 / n ) = 360
Buradan N çözülürse
N = 2n / (n-2)= 2 + 4 / (n-2)

ifadesi elde edilir. Bulmak istedigimiz, hangi kenar sayisi n için, N degeri tamsayi olmaktadir. Tamsayi degerleri, sadece n=3, 4 ve 6 için elde edebiliriz ve 6'dan büyük hiçbir rakam için tamsayi elde edilemez. Yani bir alani bosluksuz bölmek istersek, ya üçgen, ya dörtgen veya altigen kullanmaliyiz. Kenar sayisi 6'dan fazla olan düzgün bir çokgen ile bosluksuz bölme mümkün degildir. Benzer sekilde düzgün besgenler de uygun bir çözüm degildir. Sekil 3'te üç düzgün besgenin yan yana getirilmesi ile 36O açili bos bir alan ortaya çikmistir. Halbuki altigenler bosluksuz yan yana getirilebilirler. Ayrica esit alanli üçgen, dörtgen ve altigen birbiri ile karsilastirildiginda, en az çizgi uzunlugu altigende olmaktadir. Dolayisi ile en az balmumu sarfiyati bu sekilde bölme kullanilarak elde edilebilir.

Matematikçiler ayrica, kenarlari dogru olmayan, egri olan çokgenlerin daha iyi olup olmadigini da arastirdilar. Kenar egri olunca, bir çokgende disbükey sekil elde edilirken komsu çokgende ister istemez içbükey sekil elde edilmektedir. Disbükey egri ile elde edilen avantaji (daire parçasina daha fazla benzemesinden dolayi) içbükey egriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir. Michigan Üniversitesi’nden Thomas Hales 1999'da tartismalara son noktayi koydu ve bir alani esit küçük alanlara ayirmak istedigimizde, en ideal seklin düzgün altigen oldugunu ispatladi. Her ne kadar altigen seklin, ideal bir sekil oldugu uzun zamandir belirtilse de, bunun saglam bir matematik ispati yapilamamisti. 1999'da ispatini ancak yapabildigimiz bir çözümü, arilarin milyonlarca yildir sasirmadan Sevk-i Ilâhî ile uygulamalari, Allah'in ilhâmindan baska ne olabilir ki... Sâyet arilarin petek insa teknikleri ilk yaratildiklari dönemden bu yana evrimleserek gelseydi, fosil kayitlarinda, altigen disinda baska geometrik sekillere de rastlanmasi gerekirdi. Halbuki baska bir sekildeki bal peteginin kullanildigina dâir ipucuna rastlanmamistir. Bizzat Charles Darwin bal petegini, isçilik ve balmumunu mükemmel ekonomize eden bir mühendislik harikasi olarak tanimlamistir.

Simdiye kadar probleme iki boyutlu baktik. Ancak bal petegi üç boyutlu bir cisim olup altigen prizma seklindedir. Altigen prizma seklindeki petekler iki tabaka hâlinde olup, bir uçlari açik, diger kapali uçlari ise sirt sirta yerlestirilmistir (Sekil 5). Çerçeve yere dik gelecek sekilde yerlestirildiginde, prizmalar yatay ile 13O’lik bir egim açisi yapacak sekilde insa edilmis olurlar ve bu açi balin akmamasi için yeterli olan en küçük açidir. Acaba petegin kapali ucunda en az balmumu sarfiyati için nasil bir geometri olmalidir? 1964'te matematikçi Fejes Toth, en ideal kapatmanin iki altigen ve iki kare ile saglanabilecegini gösterdi. Arilar ise biraz farkli olarak üç eskenar dörtgenle kapatma yapmaktaydilar. Eskenar dörtgenlerin iç açilari 70,5O ve 109,5O olup, üç eskenar dörtgen çatisi sekli için en ideal matematik çözümü vermektedir. Görünüste arilarin uygulamasinda iki altigen ve iki kareye göre alanda % 0,035'lik çok küçük bir kayip olmaktaydi. Ancak gözden kaçirilan bir nokta vardi, o da hesaplamalarda duvar kalinligi son derece ince aliniyordu.

Arastirmacilar, Toth'un matematik modelini tecrübe etmek üzere sivi hava köpügü kullandilar. Iki cam arasina, iki tabaka olacak sekilde 2 mm çapli kabarciklara sahip deterjan çözeltisi pompaladilar. Camlarla temas eden kabarciklar altigen yapilara dönüstü. Ortada iki tabakanin sinirinda ise Toth'un öne sürdügü iki altigen ve iki kare seklindeki yapi olustu. Kabarcik duvarlari biraz kalinlastirildiginda ise, enteresan bir durum ortaya çikti ve yapi birden arilarda oldugu gibi üç eskenar dörtgen yapisina dönüstü.

Yorum (3)